Triángulos


Definiciones

  • Llamamos triángulo al polígono de tres lados
  • Sean tres puntos ABC, llamamos triángulo a la porción del plano limitada por los segmentos AB, BC y CD

Consideraciones

  • En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180º
  • Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes
  • Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido
  • Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales
  • En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo
  • Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales
  • En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Elementos


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Puntos y rectas notables del triángulo

Propios

  • Lados: cada uno de los segmentos citados
  • Vértices: los puntos A, B y C

Cevianas

Llamamos cevianas o rectas notables a cada una de las siguientes:
  • Alturas: la distancia entre cada vértice y su lado opuesto
  • Medianas: la distancia desde el punto medio de cada lado hasta el vértice no contenido
  • Mediatrices: la mediatriz de cada lado
  • Bisectrices: la bisectriz de cada ángulo

Puntos o centros notables

Son las intersecciones entre cevianas de un mismo tipo:
  • Ortocentro. Es la intersección de las tres alturas.
  • Baricentro. Punto común a la tres medianas. Coincide con el centro de gravedad del triángulo
  • Circuncentro. Centro de la circunferencia circunscrita
  • Incentro. Centro de la circunferencia inscrita

Clasificación

Según sus lados

  • Equilátero. Sus tres lados, y por tanto sus tres ángulos, son iguales
  • Isósceles. Dos de sus lados son iguales, y también los dos ángulos adyacentes al lado desigual
  • Escaleno. Cada lado y cada ángulo es distinto de los otros dos

Según sus ángulos

  • Rectángulo. Uno de sus ángulos es recto
  • Obtusángulo. Uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º)
  • Acutángulo. Sus tres ángulos son agudos

Trazados

Para resolver un triángulo son necesarios tres datos cualesquiera, siempre que uno de ellos sea una longitud. La gran variedad de posibles combinaciones desaconseja intentar aquí cubrirlas todas. Podemos sin embargo describir algunas de las más características.

Triángulos escalenos

  • Dados sus lados
Sean los segmentos AB, AC y BC, lados del triángulo.
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Trazado del triángulo dados sus lados

  • Dados un lado y sus ángulos adyacentes
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Triángulo, dados su lado AB y los ángulos A y B

  • Dados un lado, uno de sus ángulos adyacentes y el lado opuesto
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Triángulo, dados los lados ABy CD y el ángulo en A

  • Dados dos lados y el ángulo entre ellos
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Triángulo, dados los lados AB y BC, y el ángulo en B

  • Dados un lado y su baricentro
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Triángulo, dados su lado AB y su baricentro P

  • Dados un lado, la altura de su vértice opuesto y el ángulo en el mismo vértice
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Triángulo, dados el lado AB, la altura de C y el ángulo en C

  • Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
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Triángulo, dados los lados AB y AC, y el ángulo en B

Triángulos equiláteros

Estos triángulos se construyen como los anteriores considerando que además todos sus lados son iguales, sus ángulos de 60º, y sus puntos y rectas notables son coincidentes.
  • Dado su lado
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Triángulo equilátero, dado el lado

  • Dada su altura
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Triángulo equilétro, dada su altura

Triángulos isósceles

  • Dados el lado desigual y el ángulo opuesto
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Triángulo isósceles, dados el lado AB y el ángulo en el vértice C

  • Dados el lado desigual y la altura
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Triángulo isósceles, dados el lado desigual AB y el ángulo en el vértice C

  • Dados la altura y uno de los lados iguales
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Triángulo isósceles dados sus lados iguales y la altura sobre el desigual


Triángulos rectángulos

  • Dados un cateto y la hipotenusa
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Triángulo rectángulo, dados el cateto c1 y la hipotenusa h

  • Dados un cateto y el ángulo opuesto
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Triángulo rectángulo, dados el cateto AB y el ángulo en C

  • Dados un cateto y un ángulo adyacente
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Triángulo rectángulo, dados su lado AB y su ángulo en A